题目内容

11.若曲线C1:x2+y2-2x=0与曲线C2:y(y-mx-m)=0有四个不同的交点,则实数m的取值范围是(  )
A.(-$\frac{\sqrt{3}}{3}$,$\frac{\sqrt{3}}{3}$)B.(-∞,-$\frac{\sqrt{3}}{3}$)∪($\frac{\sqrt{3}}{3}$,+∞)C.[-$\frac{\sqrt{3}}{3}$,$\frac{\sqrt{3}}{3}$]D.(-$\frac{\sqrt{3}}{3}$,0)∪(0,$\frac{\sqrt{3}}{3}$)

分析 把圆的方程化为标准方程,求出圆心和半径,直线过定点(-1,0),当直线y-mx-m=0与圆相切时,根据圆心到直线的距离d=$\frac{2|m|}{\sqrt{{m}^{2}+1}}$=r=1,求出m的值,数形结合求出实数m的取值范围.

解答 解:由题意可知曲线C1:x2+y2-2x=0表示一个圆,
化为标准方程得:(x-1)2+y2=1,
所以圆心坐标为(1,0),半径r=1;
C2:y(y-mx-m)=0表示两条直线y=0和y-mx-m=0,
由直线y-mx-m=0可知:此直线过定点(-1,0),
在平面直角坐标系中画出图象如图所示:
当直线y-mx-m=0与圆相切时,
圆心到直线的距离d=$\frac{2|m|}{\sqrt{{m}^{2}+1}}$=r=1,
化简得:m2=$\frac{1}{3}$,m=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$.
则直线y-mx-m=0与圆相交时,
m∈(-$\frac{\sqrt{3}}{3}$,0)∪(0,$\frac{\sqrt{3}}{3}$),
故选:D.

点评 本题主要考查直线和圆的位置关系,点到直线的距离公式的应用,体现了数形结合的数学思想,属于中档题.

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