题目内容
【题目】设函数(
,且
),
(其中
为
的导函数).
(Ⅰ)当时,求
的极大值点;
(Ⅱ)讨论的零点个数.
【答案】(1)的极大值点为
.(2)见解析
【解析】试题分析:
(1)由题意可得,由导函数讨论函数的单调性可得
的极大值点为
.
(2)分类讨论可得:当或
时,
有一个零点;当
或
时,
有2个零点;当
或
时,
有3个零点.
试题解析:
解:(Ⅰ),
,解得
.
当时,
;当
时,
,故
的极大值点为
.
(Ⅱ)(1)先考虑时,
的零点个数,当
时,
为单调减函数,
,
,由零点存在性定理知
有一个零点.
当时,由
,得
,即
,即
,令
,则
.
由,得
,当
时,
;当
时,
,
故,
,且
总成立,故
的图象如图,
由数形结合知,
①若,即
时,当
时,
无零点,故
时,
有一个零点;
②若,即
时,当
时,
有一个零点,故
时,
有2个零点;
③若,即
时,当
时,
有2个零点,故
时,
有3个零点.
(2)再考虑的情形,若
,则
,同上可知,
当,即
时,
有一个零点;
当,即
时,
有2个零点;
当,即
时,
有3个零点.
综上所述,当或
时,
有一个零点;
当或
时,
有2个零点;
当或
时,
有3个零点.
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