题目内容
【题目】已知函数
(1)若为曲线
的一条切线,求a的值;
(2)已知,若存在唯一的整数
,使得
,求a的取值范围.
【答案】(1)或
;(2)
.
【解析】试题分析:(1)先求出,设出切点
,利用切线方程求得
,进而求得
的值;(2)问题转化为存在唯一的整数
,使
的最小值小于零,利用导数求其极值,数形结合可得
,且
,即可得
的取值范围.
试题解析:
(1)函数的定义域为
,
,
设切点,则切线的斜率
,
所以切线为,
因为恒过点
,斜率为
,且为
的一条切线,
所以,
所以或
,所以
或
.
(2)令,
,
,
当时,∵
,
,∴
,
又,∴
,∴
在
上递增,
∴
,又
,
则存在唯一的整数使得
,即
;
当时,为满足题意,
在
上不存在整数使
,
即在
上不存在整数使
,
∵,∴
.
①当时,
,
∴在
上递减,
∴当时,
,
∴,∴
;
②当时,
,不符合题意.
综上所述,.
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