题目内容
【题目】在数列
中，已知
，
，
，设
为的前
项和．
（1）求证：数列
是等差数列；
（2）求；
（3）是否存在正整数
，
，
，使
成等差数列？若存在，求出，，的值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）详见解析（2）
（3）
，
，
的值为
，
，
．
【解析】
试题分析：（1）证明数列为等差数列，一般方法为定义法，即利用相邻两项的差为常数进行论证：
（2）先确定
的通项公式：
，再求
，最后利用错位相减法求和，注意相减时项的符号变化、项数的确定、最后结果得表示（3）存在性问题，一般以算代探：先根据
成等差数列得
，代入得
，通过研究
单调性，确定满足条件解的范围：当
时
，因此满足条件的解
，经验证满足条件
试题解析：（1）证明：因为
，所以
，…………………2分
又因为
，所以
，
所以是首项为1，公差为
的等差数列． …………………………4分
（2）由（1）知，所以，………6分
所以
，
所以
，
两式相减得
，
所以．…………………………………………………………………10分
（3）假设存在正整数，，
，使成等差数列，
则，即．
由于当
时，
，所以数列
单调递减．
又
，所以
且
至少为2，所以
， ………………12分
．
①当
时，
，又
，
所以
，等式不成立．………………………………………14分
②当
时，
，
所以
，所以
，所以
(单调递减，解唯一确定)．
综上可知，，，的值为，，． ………………………………16分
【题目】重庆八中大学城校区与本部校区之间的驾车单程所需时间为
，
只与道路畅通状况有关，对其容量为500的样本进行统计，结果如下：
| 25 | 30 | 35 | 40 |
频数（次） | 100 | 150 | 200 | 50 |
以这500次驾车单程所需时间的频率代替某人1次驾车单程所需时间的概率．
（1）求
的分布列与
；
（2）某天有3位教师独自驾车从大学城校区返回本部校区，记
表示这3位教师中驾车所用时间少于
的人数，求
的分布列与
；
（3）下周某天张老师将驾车从大学城校区出发，前往本部校区做一个50分钟的讲座，结束后立即返回大学城校区，求张老师从离开大学城校区到返回大学城校区共用时间不超过120分钟的概率．