题目内容
【题目】已知,
,其中
均为实数.
(I)求的极值;
(II)设,
,求证:对
,
恒成立.
(III)设,若对
给定的
,在区间
上总存在
使得
成立,求
的取值范围.
【答案】(I)极大值
,无极小值;(II)证明见解析;(III)
.
【解析】
试题分析:(I)求出函数的导数,利用导函数的符号判断函数的单调性,然后求解极值;(II)通过,
,化简
,利用函数的单调性,转化原不等式转化
,构造函数
,利用新函数的导数的单调性,证不等式成立;(III)由(1)得
的最大值,求出函数
的导数,判断
,不满足题意;当
时,要
使得
,
的极值点必在区间
内,求出
的范围,当
,利用
在
上的值域包含于
在
和
上的值域,推出关系式,通过构造函数
,通过导数求解函数的最值,然后推出
.
试题解析:(I)∵,∴
,∴
,
,∴
极大值
,无极小值;
(II)∵,
,
∴,在
上是增函数.
∴,在
上是增函数.
设,则原不等式转化为
,
即.
令,
即证,
,即
在
,
∵在
恒成立,
即在
,即所证不等式成立.
(III)由(I)得在
,
,
,
所以.
又,当
时,
,
在
,不符合题意.
当时,要
使得
,
那么由题意知的极值点必在区间
内,即
.
得,且函数
在
,
,
由题意得在
上的值域包含于
在
和
上的值域.
∴内,
.
下面证时,
,取
,先证
,即证
.
令,∴
,在
内恒成立.
∴,∴
,∴
.
再证,∵
,∴
.
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