Question

【题目】（本小题满分12分）设函数，其中，曲线过点，且在点处的切线方程为．

（I）求的值；

（II）证明：当时，；

（III）若当时，恒成立，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（I），；（II）见解析；（III）.

【解析】

试题分析：（I）求函数的导数，由曲线过点可得，由在点处的切线方程为可得，列出方程组，解之即可；（II）令，求，得用导数求函数的单调性，求出函数的最小值，证即可；（III）设，由解之即可.

试题解析： （I），∴，

.

∴，.

（II） .

设，，，

，∴在上单调递增，

∴，∴在上单调递增，∴．

∴．

（III）设，，

由（2）中知，∴，

∴.

①当，即时，，∴在单调递增，∴成立.

②当，即时，.

，令，得.

当时，，∴在上单调递减，∴，不成立.

综上，.