题目内容
【题目】已知函数.
(1)当时,证明:
在定义域上为减函数;
(2)若时,讨论函数
的零点情况.
【答案】(1)见解析;(2)当时,函数
没有零点; 当
或
时,函数
有一个零点;当
时,函数
有两个零点.
【解析】
试题分析:(1)先求函数的定义域,再求函数
的导数
,令令
,则
,由此可得
,即即
,
,可证结论成立;(2)
,构造函数
,求函数
的导数
,由导数研究函数的单调性,画出函数的图象,数形结合零点情况.
试题解析: (1)由题意可知函数的定义域为
.
令,则
,
当时,
;当
时,
;
∴,即
,
∴,∴
在定义域上为减函数.
(2)函数的零点情况,即方程
的根情况,
∵,∴方程可化为
,
令,则
,
令,可得
,
当时,
;当
时,
;
∴,且当
时,
;当
时,
.
∴的图象大致如图示:
当时,方程
没有根,
当或
时,方程
有一个根,
当时,方程
有两个根.
∴当时,函数
没有零点;
当或
时,函数
有一个零点;
当时,函数
有两个零点.
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