题目内容
5.已知函数f(x)=x-plnx.(Ⅰ)当p=1时,求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)求f(x)的极值.
分析 (Ⅰ)求出p=1的函数f(x),求出定义域和导数,令导数大于0,可得增区间,令导数小于0,可得减区间;
( II)求出f(x)的导数,结合定义域,讨论当p≤0时,当p>0时,令导数大于0,可得增区间,令导数小于0,可得减区间,进而得到极值.
解答 解:(Ⅰ)当p=1时,f(x)=x-lnx,定义域为(0,+∞),
由$f'(x)=1-\frac{1}{x}<0$,可解得0<x<1,f′(x)>0,可解得x>1.
所以函数f(x)的单调递减区间为(0,1);单调递增区间(1,+∞);
( II)由f(x)=x-plnx,可得$f'(x)=1-\frac{p}{x}=\frac{x-p}{x}$,x∈(0,+∞),
当p≤0时,f′(x)>0当x∈(0,+∞)时恒成立;
此时,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,所以无极值.
当p>0时,令f′(x)=0可得x=p;
当0<x<p时,f′(x)<0,当x>p时,f′(x)>0,
所以x=p是函数f(x)的极小值点,极小值为f(p)=p-plnp;
综上所述,当p≤0时函数f(x)无极值.
当p>0时函数f(x)有极小值p-plnp,无极大值.
点评 本题考查导数的运用:求单调区间和极值,同时考查函数的单调性,运用分类讨论的思想方法是解题的关键.
练习册系列答案
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