Question

20．设数列{a_n}的首项a₁≠$\frac{3}{5}$，且a_n+1+2a_n=3ⁿ，a_n-b_n=$\frac{3^n}{5}$，（n∈N^*）．
（Ⅰ）证明：{b_n}是等比数列；
（Ⅱ）若a₁=$\frac{3}{2}$，数列{a_n}中是否存在连续三项成等差数列？若存在，写出这三项，若不存在说明理由．
（Ⅲ）若{a_n}是递增数列，求a₁的取值范围．

Answer 1

分析 （I）利用已知关系式证明$\frac{{b}_{n+1}}{{b}_{n}}$为常数即可；
（II）利用（I）可得b_n，进而得到a_n．若{a_n}中存在连续三项成等差数列，则必有2a_n+1=a_n+a_n+2，解出即可．
（III）如果a_n+1＞a_n成立，可得$\frac{4}{15}•{3^n}＞-（{a_1}-\frac{3}{5}）{（-2）^n}$，对n分类讨论即可得出．

解答 （Ⅰ）证明：∵$\frac{{{b_{n+1}}}}{b_n}=\frac{{{a_{n+1}}-\frac{1}{5}•{3^{n+1}}}}{{{a_n}-\frac{1}{5}•{3^n}}}=-2$，且${b_1}={a_1}-\frac{3}{5}≠0$，
∴数列{b_n}是首项为${a_1}-\frac{3}{5}$，公比为-2的等比数列；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知{b_n}是首项为${a_1}-\frac{3}{5}={b_1}=\frac{9}{10}$，公比为-2的等比数列．
∴${b_n}={a_n}-\frac{1}{5}•{3^n}=\frac{9}{10}•{（-2）^{n-1}}⇒{a_n}=\frac{1}{5}•{3^n}+\frac{9}{10}•{（-2）^{n-1}}$，
若{a_n}中存在连续三项成等差数列，则必有2a_n+1=a_n+a_n+2，
即$2[\frac{1}{5}•{3^{n+1}}+\frac{9}{10}•{（-2）^n}]=\frac{1}{5}•{3^n}+\frac{9}{10}•{（-2）^{n-1}}+\frac{1}{5}•{3^{n+2}}+\frac{9}{10}•{（-2）^{n+1}}$
解得n=4，即a₄，a₅，a₆成等差数列．
（Ⅲ）解：如果a_n+1＞a_n成立，即$\frac{1}{5}•{3^{n+1}}+（{a_1}-\frac{3}{5}）•{（-2）^n}＞\frac{1}{5}•{3^n}+（{a_1}-\frac{3}{5}）•{（-2）^{n-1}}$对任意自然数均成立．
化简得$\frac{4}{15}•{3^n}＞-（{a_1}-\frac{3}{5}）{（-2）^n}$，
当n为偶数时，${a_1}＞\frac{3}{5}-\frac{4}{15}{（\frac{3}{2}）^n}$，
∵$p（n）=\frac{3}{5}-\frac{4}{15}{（\frac{3}{2}）^n}$是递减数列，∴p（n）_max=p（2）=0，即a₁＞0；
当n为奇数时，${a_1}＜\frac{3}{5}+\frac{4}{15}{（\frac{3}{2}）^n}$，
∵$q（n）=\frac{3}{5}+\frac{4}{15}{（\frac{3}{2}）^n}$是递增数列，∴q（n）_min=q（1）=1，即a₁＜1；
故a₁的取值范围为（0，1）．

点评 本题考查了递推式的应用、等比数列与等差数列的通项公式、数列的单调性，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．