题目内容

(1)求右焦点坐标是(2,0),且经过点(-2,-)的椭圆C的标准  方程;
(2)对(1)中的椭圆C,设斜率为1的直线l交椭圆CAB两点,AB的中点为M,证明:当直线l平行移动时,动点M在一条过原点的定直线上;
(3)利用(2)所揭示的椭圆几何性质,用作图方法找出下面给定椭圆的中心,简要写出作图步骤,并在图中标出椭圆的中心.
(1) 椭圆的标准方程为+=1.
(1)由题中条件,设椭圆的标准方程为+=1,ab>0,
∵右焦点为(2,0),∴a2=b2+4,
即椭圆的方程为+=1.
∵点(-2,-)在椭圆上,∴+=1.
解得b2=4或b2=-2(舍),
由此得a2=8,即椭圆的标准方程为+=1.
(2)设直线l的方程为y=x+m,与椭圆C的交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),
则由得12x2+16mx+8m2-32=0,
即3x2+4mx+2m2-8=0.
Δ>0,∴m2<12,即-2m<2.
x1+x2=-,y1+y2=x1+m+x2+m=m,
AB中点M的坐标为(-m,).
∴线段AB的中点M在过原点的直线x+2y=0上.
(3)如下图,作两条平行直线分别交椭圆于点AB和点CD,并分别取ABCD的中点MN,连结直线MN;又作两条平行直线(与前两条直线不平行)分别交椭圆于点A1B1和点C1D1,并分别取A1B1C1D1的中点M1N1,连结直线M1N1,那么直线MNM1N1的交点O即为椭圆中心 .
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