Question

7．如图展示了一个由区间（0，1）到实数集R的映射过程；区间（0，1）中的实数x对应数轴上的点M，如图①；将线段AB围成一个圆，使两端点A，B恰好重合，如图②；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y轴上，点A的坐标为（0，1），如图③．图③中直线AM与x轴交于点N（n，0），则x的象就是n，记作f（x）=n．

下列说法中正确的序号是①③⑤．（填上所有正确命题的序号）
①f（x）在定义域上单调递增；
②f（x）的图象关于y轴对称；
③$\frac{1}{2}$是f（x）的零点；
④$f（{\frac{1}{3}}）+f（{\frac{2}{3}}）=1$；
⑤f（x）＞1的解集是$（{\frac{3}{4}，1}）$．

Answer 1

分析 借助于图形来看四个选项，从图形上可得f（x）在定义域上单调递增①对，因实数m所在区间（0，1）不关于原点对称，知②错；利用f（$\frac{1}{2}$ ）=0，判断出③对，
利用对称性可知f（$\frac{1}{3}$）+f（$\frac{2}{3}$）=0，即④错，当f（x）=1时，即N（1，0），直线AN：x+y=1，代入圆方程求得M的坐标，即可得到m，再由f（x）的单调性，即可判断⑤．

解答 解：如图，因为M在以（1，1-$\frac{1}{2π}$）为圆心，$\frac{1}{2π}$为半径的圆上运动，
对于①，当实数x越来越大时，如图直线AM与x轴的交点N（n，0）也越来越往右，
即n也越来越大，所以f（x）在定义域上单调递增，即①对．
对于②，因为实数x所在区间（0，1）不关于原点对称，
所以f（x）不存在奇偶性．故②错．
对于③当实数x=$\frac{1}{2}$时，对应的点在点A的正下方，此时点N（0，0），所以f（$\frac{1}{2}$ ）=0，即③对；
对于③，当实数m越来越大时，
如图直线AM与x轴的交点N（n，0）也越来越往右，
即n也越来越大，所以f（x）在定义域上单调递增，即③对．
对于④，定义域是（0，1），根据左右的对称性，可以判断出来f（x）+f（1-x）=0，因此可以判断f（$\frac{1}{3}$）+f（$\frac{2}{3}$）=0，即④错；
对于⑤，当f（x）=1时，即N（1，0），直线AN：x-y=1，代入圆方程x²+（y-1+$\frac{1}{2π}$）²=$\frac{1}{4{π}^{2}}$，
求得M（-$\frac{1}{2π}$，1+$\frac{1}{2π}$），|AM|=$\frac{\sqrt{2}}{2π}$，AM的弧长为1-$\frac{1}{4}$=$\frac{3}{4}$，由③可得解集是（$\frac{3}{4}$，1）．即⑤对
故答案为：①③⑤．

点评 本题考查了在新定义的条件下解决函数问题，是一道很好的题．关于新定义型的题，关键是理解定义，并会用定义来解题．属于难题．