Question

19．已知等比数列{a_n}满足a_n+1+a_n=4×3^n-1（n∈N^*）．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若b_n=log₃a_n，求T_n=b₁b₂-b₂b₃+b₃b₄-b₄b₅+…+b_2n-1b_2n-b_2nb_2n+1．

Answer 1

分析 （I）设等比数列{a_n}的公比为q，由a_n+1+a_n=4×3^n-1（n∈N^*）．可得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}q+{a}_{1}=4}\\{{a}_{1}{q}^{2}+{a}_{1}q=12}\end{array}\right.$，解得即可得出；
（II）b_n=log₃a_n=n-1．可得b_2n-1b_2n-b_2nb_2n+1=b_2n（b_2n-1-b_2n+1）=2-4n．再利用等差数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（I）设等比数列{a_n}的公比为q，由a_n+1+a_n=4×3^n-1（n∈N^*）．
可得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}q+{a}_{1}=4}\\{{a}_{1}{q}^{2}+{a}_{1}q=12}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=1}\\{q=3}\end{array}\right.$，
∴a₃=3^n-1．
（II）b_n=log₃a_n=n-1．
b_2n-1b_2n-b_2nb_2n+1=b_2n（b_2n-1-b_2n+1）=（2n-1）（-2）=2-4n．
∴T_n=（2-4×1）+（2-4×2）+…+（2-4n）=$\frac{（-2+2-4n）n}{2}$=-2n²．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了变形能力、推理能力与计算能力，属于中档题．