Question

15．下列说法正确的是②③④
①已知sinθ+cosθ=$\frac{7}{13}$，θ∈（0，π），则tanθ=$\frac{12}{5}$
②已知函数f（x）=sin（ωx+$\frac{π}{4}$），其中ω＞0，且函数f（x）的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于$\frac{π}{3}$，若函数f（x）的图象向左平移m个单位所对应的函数是偶函数，则最小正实数m=$\frac{π}{12}$
③已知函数f（x）=3sin（ωx-$\frac{π}{6}$）（ω＞0）和g（x）=2cos（2x+φ）+1的图象的对称轴完全相同，若x∈[0，$\frac{π}{2}$]，则f（x）的取值范围是[-$\frac{3}{2}$，3]
④设函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0）若f（x）在区间[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]上具有单调性，且f（$\frac{π}{2}$）=f（$\frac{2π}{3}$）=-f（$\frac{π}{6}$），则f（x）的最小正周期为π

Answer 1

分析 对于①sinθ+cosθ=$\frac{7}{13}$，两边平方得到sinθcosθ=-$\frac{60}{169}$，解得sinθ=$\frac{12}{13}$，cosθ=-$\frac{5}{13}$，即tanθ=$\frac{sinθ}{cosθ}$=-$\frac{12}{5}$．故可判断；
对于②由函数f（x）的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于$\frac{π}{3}$=$\frac{T}{2}$，根据周期公式可得ω=3，函数f（x）的图象向左平移m个单位后所对应的函数g（x）=sin（3x+3m+$\frac{π}{4}$）．为偶函数则根据偶函数的性质可得对称轴y轴将取得函数的最值则m=$\frac{kπ}{3}$+$\frac{π}{12}$（k∈Z）时从而可求m，故可判断；
对于③先根据函数f（x）和g（x）的图象的对称轴完全相同确定ω的值，再由x的范围确定ωx-$\frac{π}{6}$的范围，最后根据正弦函数的图象和性质可得到f（x）的取值范围是[-$\frac{3}{2}$，3]．
故可判断；
对于④由由f（$\frac{π}{2}$）=f（$\frac{2π}{3}$）得出函数的一条对称轴，结合f（x）在区间[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]上具有单调性，且可得到函数的半周期，进一步求得周期T=π，故可判断；

解答 解：对于①解：∵sinθ+cosθ=$\frac{7}{13}$，
∴（sinθ+cosθ）²=$\frac{49}{169}$，
整理得：sin²θ+2sinθcosθ+cos²θ=1+2sinθcosθ=$\frac{49}{169}$，
即sinθcosθ=-$\frac{60}{169}$，
∵θ∈（0，π），
解得：sinθ=$\frac{12}{13}$，cosθ=-$\frac{5}{13}$，
则tanθ=$\frac{sinθ}{cosθ}$=-$\frac{12}{5}$．
故①错误；
对于②解：依题意函数f（x）的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于$\frac{π}{3}$，
可得$\frac{T}{2}$=$\frac{π}{3}$，T=$\frac{2π}{3}$，
根据周期公式T=$\frac{2π}{ω}$，可得ω=3，
∴f（x）=sin（3x+$\frac{π}{4}$），
∵函数f（x）的图象向左平移m个单位后所对应的函数g（x）=sin[3（x+m）+$\frac{π}{4}$]=sin（3x+3m+$\frac{π}{4}$），
所以当且仅当3m+$\frac{π}{4}$=kπ+$\frac{π}{2}$（k∈Z），即m=$\frac{kπ}{3}$+$\frac{π}{12}$（k∈Z）时，g（x）是偶函数，从而，最小正实数m=$\frac{π}{12}$．
故②正确；
对于③由题意可得ω=2，
∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，
∴ωx-$\frac{π}{6}$=2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，
由三角函数图象知：f（x）的最小值为3sin（-$\frac{π}{6}$）=-$\frac{3}{2}$，最大值为3sin$\frac{π}{2}$=3，f（x）的取值范围是[-$\frac{3}{2}$，3]．
故③正确；
对于④：由f（$\frac{π}{2}$）=f（$\frac{2π}{3}$）得到：函数的对称轴方程x=$\frac{1}{2}$（$\frac{π}{2}$+$\frac{2π}{3}$）=$\frac{7π}{12}$，
则：x=$\frac{π}{2}$离最近的对称轴的距离为：$\frac{7π}{12}$-$\frac{π}{2}$=$\frac{π}{12}$，
又f（$\frac{π}{2}$）=-f（$\frac{π}{6}$），且函数f（x）在区间[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]上具有单调性，
所以：x=$\frac{π}{6}$离最近的对称轴的距离也为$\frac{π}{12}$，
则$\frac{T}{2}$=$\frac{7π}{12}$-$\frac{π}{6}$+$\frac{π}{12}$=$\frac{π}{2}$，
所以：T=π，
故④正确．
故答案为：②③④．

点评 本题主要考查了三角函数化简与计算，三角函数的图象和性质，三角函数的图象平移及偶函数的性质，运算量大，属于中档题．