题目内容
16.在△ABC中,A,B,C所对边分别为a,b,c,2c2-2a2=b2.(I)证明2ccosA-2acosC=b
(Ⅱ)若a=1,tanA=$\frac{1}{3}$,求△ABC的面积s.
分析 (Ⅰ)利用余弦定理把cosA和cosC的表达式代入等号左边整理,结合已知条件证明出结论.
(Ⅱ)利用正弦定理把(Ⅰ)中的结论中边转化成角的正弦整理可求得tanC,进而求得C,再利用正弦定理求得c,利用余弦定理求得b,最后利用三角形面积公式求得三角形的面积.
解答 (Ⅰ)证明:因为2c2-2a2=b2,
所以2ccosA-2acosC=2c•$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$-2a•$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$
=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{b}$-$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{b}$=$\frac{2{c}^{2}-2{a}^{2}}{b}$=b.
(Ⅱ)由(Ⅰ)和正弦定理以及sinB=sin(A+C)得
2sinCcosA-2sinAcosC=sinAcosC+cosAsinC,
即sinCcosA=3sinAcosC,
又cosAcosC≠0,所以tanC=3tanA=1,故C=45°.
tanA=$\frac{1}{3}$,即为$\frac{sinA}{cosA}$=$\frac{1}{3}$,sin2A+cos2A=1,可得sinA=$\frac{\sqrt{10}}{10}$,
再由正弦定理及sinA=$\frac{\sqrt{10}}{10}$得c=$\frac{asinC}{sinA}$=$\sqrt{5}$,
于是b2=2(c2-a2)=8,b=2$\sqrt{2}$,
从而S=$\frac{1}{2}$absinC=1.
点评 本题主要考查了正弦定理和余弦定理的运用.熟练综合运用正弦定理和余弦定理公式是解决三角形问题的关键.
A. | 0.046 | B. | 0.623 | C. | 0.977 | D. | 0.954 |
A. | 向左平移$\frac{π}{12}$个单位 | B. | 向左平移$\frac{π}{6}$个单位 | ||
C. | 向右平移$\frac{π}{12}$个单位 | D. | 向右平移$\frac{π}{6}$个单位 |