Question

11．设函数g（x）=x²-2x+1+mlnx．（m∈R）
（1）当m=1时，求过点P（0，-1）且与曲线y=g（x）-（x-1）²相切的切线方程．
（2）求函数y=g（x）的单调递增区间；
（3）若函数y=g（x）有两个极值点a，b，且a＜b，记[x]表示不大于x的最大整数，试比较sin$\frac{[g（a）]}{[g（b）]}$与cos（[g（a）[g（b）]的大小．

Answer 1

分析 （1）先求出曲线y=lnx，设切点为（x₀，lnx₀），这样曲线的切线的斜率为$\frac{1}{{x}_{0}}$，所以能表示出过点P（0，-1）的切线方程，再根据切线过切点即可求出x₀，从而求得切线方程；
（2）求g′（x），解g′（x）≥0，通过讨论m即可求得该函数的单调增区间；
（3）令g′（x）=0，便得2x²-2x+m=0，该方程的根便是a，b，且b=$\frac{1+\sqrt{1-2m}}{2}$，（$\frac{1}{2}$＜b＜1），并通过求g′（b），判断g′（x）的符号，从而判断该函数在（$\frac{1}{2}$，1）上的单调性，求得g（b）的取值范围，根据取值范围便能求得[g（b）]；用同样的办法求出[g（a）]，求出sin$\frac{[g（a）]}{[g（b）]}$与cos[g（a）][g（b）]，即可比较二者的大小．

解答 解：（1）曲线方程为y=lnx，设切点为（x₀，lnx₀），
由y′=$\frac{1}{x}$，得切线的斜率k=$\frac{1}{{x}_{0}}$，则切线方程为y-lnx₀=$\frac{1}{{x}_{0}}$（x-x₀）；
∵切线过点P（0，-1），∴-1-lnx₀=-1，即x₀=1；
∴所求切线方程为x-y-1=0．
（2）函数y=g（x）的定义域为（0，+∞），g′（x）=2x-2+$\frac{m}{x}$．
令g′（x）＞0，并结合定义域得2x²-2x+m＞0，
对应一元二次方程的判别式△=4（1-2m）．
①当△≤0，即m≥$\frac{1}{2}$时，g′（x）≥0，则函数g（x）的增区间为 （0，+∞）；
②当0＜m＜$\frac{1}{2}$时，函数g（x）的增区间为（0，$\frac{1-\sqrt{1-2m}}{2}$），（$\frac{1+\sqrt{1-2m}}{2}$，+∞）；
③当m≤0时，函数g（x）的增区间为（$\frac{1+\sqrt{1-2m}}{2}$，+∞）．
（3）g′（x）=2x-2+$\frac{m}{x}$，令g′（x）=0得2x²-2x+m=0，
由题意知方程有两个不相等的正根a，b（a＜b），则$\left\{\begin{array}{l}{△=4（1-2m）＞0}\\{\frac{m}{2}＞0}\end{array}\right.$
解得0＜m＜$\frac{1}{2}$，解方程得b=$\frac{1+\sqrt{1-2m}}{2}$，则$\frac{1}{2}$＜b＜1．
又由2b²-2b+m=0得m=-2b²+2b，
所以g（b）=b²-2b+1+mlnb=b²-2b+1+（-2b²+2b）lnb；b∈（$\frac{1}{2}$，1）．
g′（b）=2b-2+（-4b+2）lnb+2-2b=-4（b-$\frac{1}{2}$）lnb，
当b∈（$\frac{1}{2}$，1）时，g′（b）＞0，即函数g（b）是（$\frac{1}{2}$，1）上的增函数；
所以$\frac{1-2ln2}{4}$＜g（b）＜0，故g（b）的取值范围是（$\frac{1-2ln2}{4}$，0）．
则[g（b）]=-1．
同理可求0＜a＜$\frac{1}{2}$，g（a）=a²-2a+1+（-2a²+2a）lna；
a∈（0，$\frac{1}{2}$），g′（a）=-4（a-$\frac{1}{2}$）lna＜0，即函数g（a）是（0，$\frac{1}{2}$）上的减函数；
∴$\frac{1-2ln2}{4}$＜g（a）＜1，故g（a）的取值范围是（$\frac{1-2ln2}{4}$，1），
则[g（a）]=-1或[g（a）]=0；
当[g（a）]=-1时，sin$\frac{[g（a）]}{[g（b）]}$＞cos（[g（a）][g（b）]）；
当[g（a）]=0时，sin$\frac{[g（a）]}{[g（b）]}$＜cos（[g（a）][g（b）]）．

点评 本题考查函数在函数曲线上一点处的导数和过该点的切线的斜率的关系，函数导数的符号和函数单调性的关系，函数的极值点和函数导数的关系．对于第三问，能正确求出a，b的取值范围是求解本问的关键．