一支探险队要穿越一个“死亡谷 .在这个峡谷中.某种侵扰性昆虫的密度f近似于时间t(时)的一个连续函数.该函数的表达式为f(t)=$\left\{\begin{array}{l}1000cos\frac{(t-9)π}{4}+2000.\;\;9≤t≤17\\ 3000.\;\;0≤t＜9或17＜t≤24\end{array}$．(Ⅰ)求一天中该种昆虫密度f(t)的最小值和� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

2．一支探险队要穿越一个“死亡谷”，在这个峡谷中，某种侵扰性昆虫的密度f（t）（只/立方米）近似于时间t（时）的一个连续函数，该函数的表达式为f（t）=$\left\{\begin{array}{l}1000cos\frac{（t-9）π}{4}+2000，\;\;9≤t≤17\\ 3000，\;\;0≤t＜9或17＜t≤24\end{array}$．
（Ⅰ）求一天中该种昆虫密度f（t）的最小值和相应的时间t；
（Ⅱ）已知当密度超出2000只/立方米时，该种昆虫的侵扰将是致命的．问最早几点进入该峡谷可避免遭受该种昆虫致命性侵扰．

分析（Ⅰ）（1）当9≤t≤17时，$f（t）=1000cos\frac{（t-9）π}{4}+2000$，当t=13时，f（t）_min=1000×（-1）+2000=1000；（2）当0≤t＜9或17＜t≤24时，f（t）=3000；
从而求最小值即相应的时间；
（Ⅱ）解法1，先求f（t）=2000时得$cos\frac{（t-9）π}{4}=0$，从而可得t=11或t=15，从而解得；
解法2，令f（t）≤2000得$1000cos\frac{（t-9）π}{4}+2000≤2000$，从而解得11≤t≤15，从而解得．

解答解：（Ⅰ）（1）当9≤t≤17时，$f（t）=1000cos\frac{（t-9）π}{4}+2000$，
∵$0≤\frac{（t-9）π}{4}≤2π$，
∴$当\frac{（t-9）π}{4}=π，\;\;即t=13时，cos\frac{（t-9）π}{4}=-1$，
f（t）_min=1000×（-1）+2000=1000；
（2）当0≤t＜9或17＜t≤24时，f（t）=3000；
所以，一天中该种昆虫密度的最小值是1000（只/立方米），出现最小值时的时间t=13．
（Ⅱ）解法1，依题意当f（t）≤2000时，可避免遭受该种昆虫致命性侵扰．
由f（t）=2000，得$cos\frac{（t-9）π}{4}=0$，
∵当9≤t≤17时，$0≤\frac{（t-9）π}{4}≤2π$，
∴$\frac{（t-9）π}{4}=\frac{π}{2}$或$\frac{（t-9）π}{4}=\frac{3π}{2}$；
得t=11或t=15；
∴最早11点进入该峡谷可避免遭受该种昆虫致命性侵扰．
（Ⅱ）解法2，依题意，当f（t）≤2000时，可避免遭受该种昆虫致命性侵扰．
令f（t）≤2000，即$1000cos\frac{（t-9）π}{4}+2000≤2000$，得$cos\frac{（t-9）π}{4}≤0$；
则$2kπ+\frac{π}{2}≤\frac{（t-9）π}{4}≤2kπ+\frac{3π}{2}，k∈Z$，
得 8k+11≤t≤8k+15，k∈Z，
又∵9≤t≤17，
∴11≤t≤15，
∴最早11点进入该峡谷可避免遭受该种昆虫致命性侵扰．