Question

12．已知函数f（x）=lnx+$\frac{m}{x}$，m∈R．
（1）若函数f（x）在（1，f（1））处的切线过点（0，3），求f（x）的解析式；
（2）若函数f（x）在[3，4）上单调递减，求实数m的取值范围；
（3）若函数f（x）在[1，e]上的最小值为$\frac{3}{2}$，求实数m的值．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，求得切点，由点斜式方程可得切线方程，代入（0，3），可得m=2，进而得到函数解析式；
（2）求出导数，f（x）在[3，4）上是减函数，即为f′（x）≤0在[3，4）上恒成立，运用参数分离和求值域方法，即可得到所求范围；
（3）求出导数，对m讨论，①若m≤1，②若1＜m＜e，③若m≥e，判断在[1，e]的单调性，可得最小值，解方程即可得到m的值．

解答 解：（1）函数f（x）=lnx+$\frac{m}{x}$，f（1）=m，
由f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{m}{{x}^{2}}$，可得
f′（1）=1-m，
切线方程为y-m=（1-m）（x-1），
又因为切线过点（0，3），
所以3-m=（1-m）（0-1），解得m=2，
所以f（x）的解析式为f（x）=lnx+$\frac{2}{x}$．                   
（2）∵f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{m}{{x}^{2}}$，
∵f（x）在[3，4）上是减函数，
∴f′（x）≤0在[3，4）上恒成立，即m≥x在[3，4）上恒成立．
所以实数m的取值范围为[4，+∞）．                       
（3）由（2）得f′（x）=$\frac{x-m}{{x}^{2}}$，x∈[1，e]．
①若m≤1，则x-m≥0，即在[1，e]上f′（x）≥0恒成立，
此时f（x）在[1，e]上是增函数．
所以f（x）_min=f（1）=m=$\frac{3}{2}$（舍去）．                    
②若1＜m＜e，令f′（x）=0，得x=m．当1＜x＜m时，f′（x）＜0，
所以f（x）在（1，m）上是减函数，当m＜x＜e时，f′（x）＞0，
所以f（x）在（m，e）上是增函数．
所以f（x）_min=f（m）=1+lnm=$\frac{3}{2}$，解得m=$\sqrt{e}$（符合要求）．        
③若m≥e，则x-m≥0，即f′（x）≤0在[1，e]上恒成立，
此时f（x）在[1，e]上是减函数．
所以f（x）_min=f（e）=lne+$\frac{m}{e}$=$\frac{3}{2}$，所以m=$\frac{1}{2}$e（舍去）．
综上所述m=$\sqrt{e}$．

点评 本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间以及最值，主要考查导数的几何意义和函数的单调性的运用，运用分类讨论的思想方法是解题的关键．