Question

【题目】已知离心率为的椭圆，右焦点到椭圆上的点的距离的最大值为3。

（1）求椭圆的方程；

（2）设点是椭圆上两个动点，直线与椭圆的另一交点分别为，且直线的斜率之积等于，问四边形的面积是否为定值？请说明理由。

Answer 1

【答案】（1）；（2）四边形的面积为定值。

【解析】

试题分析：（1）由题意知：，又，∴，∴，所以椭圆的方程为；（2）当直线的斜率不存在时，设点，可得，，∴。当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立椭圆得，写出根与系数关系，根据化简得.利用弦长公式和点到直线距离公式，计算。

试题解析：

（1）由题意知：，又，∴，∴，所以椭圆的方程为。

（2）（1）当直线的斜率不存在时，设点，可得，，∴。

（2）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立椭圆得，设，有，，。∵，得，∴，化简得：。

∵，原点到直线的距离，∴综上，四边形的面积为定值。