题目内容
【题目】如下图,在四棱锥中,
面
,
,
,
,
,
,
,
为
的中点。
(1)求证:面
;
(2)线段上是否存在一点
,满足
?若存在,试求出二面角
的余弦值;若不存在,说明理由。
【答案】(1)见解析;(2)存在点,满足
,二面角
的余弦值为
。
【解析】
试题分析:(1)要证平面
,只要在平面
内找到一条直线与
平行即可,取
的中点
,构造平行四边形
即可证明;(2)以
分别为
轴建立空间直角坐标系
,写出点
的坐标,假设
上存在一点
使
,利用空间向量知识可得到在
上存在点
满足条件,平面
的一个法向量为
,再求出平面
的法向量,即可求二面角
的余弦值。
试题解析:(1)取的中点
,连
和
,过
点作
,垂足为
∵,
,∴
,又
∴四边形为平行四边形,
∴,在直角三角形
中,
∴,而
分别为
的中点,
∴且
,又
∴且
,四边形
为平行四边形,
∴
平面
,
平面
,∴
平面
。
(2)由题意可得,两两互相垂直,如图,以
分别为
轴建立空间直角坐标系
,
则,假设
上存在一点
使
,设
坐标为
,
则,由
,得
,
又平面的一个法向量为
设平面的法向量为
又,
,
由,得
,即
不妨设,有
则
又由法向量方向知,该二面角为锐二面角,
故二面角的余弦值为
。
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
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