题目内容
【题目】设函数在
上是奇函数,且对任意
都有
,当
时,
,
:
(1)求的值;
(2)判断的单调性,并证明你的结论;
(3)求不等式的解集.
【答案】(1);(2)
在
上单调递减;证明详见解析;(3)
。
【解析】
试题分析:(1)令可以得到:
,由已知
,所以
;(2)函数
在区间
上为单调递减函数,可以按照函数单调性定义进行证明,设
是
上任意两个不等的实数,且
,则
,
,再根据已知条件可有
,因为当
时,
,所以
,因此函数
在区间
上为单调递减函数;(3)根据第(1)问
,再根据奇函数有:
,所以不等式
转化为
,根据
在区间
上为单调递减函数,则有:
,解得
,所以
。
试题解析:(1)在中,令
得
(2)结论:函数在
上是单调递减的,证明如下:
任取
则=
=
因为,所以
,则
,即
故函数在
上单调递减。
(3)由于
所以不等式等价于
又是奇函数,所以
即
又因为函数在
上单调递减,
所以,解得
故原不等式的解集为
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
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