题目内容
【题目】设函数在上是奇函数,且对任意都有,当时,,:
(1)求的值;
(2)判断的单调性,并证明你的结论;
(3)求不等式的解集.
【答案】(1);(2)在上单调递减;证明详见解析;(3)。
【解析】
试题分析:(1)令可以得到:,由已知,所以;(2)函数在区间上为单调递减函数,可以按照函数单调性定义进行证明,设是上任意两个不等的实数,且,则,,再根据已知条件可有,因为当时,,所以,因此函数在区间上为单调递减函数;(3)根据第(1)问,再根据奇函数有:,所以不等式转化为,根据在区间上为单调递减函数,则有:,解得,所以。
试题解析:(1)在中,令得
(2)结论:函数在上是单调递减的,证明如下:
任取
则==
因为,所以,则,即
故函数在上单调递减。
(3)由于
所以不等式等价于
又是奇函数,所以
即
又因为函数在上单调递减,
所以,解得
故原不等式的解集为