题目内容
【题目】已知函数,(其中,是自然对数的底数)。
(Ⅰ)若关于的方程有唯一实根,求的值;
(Ⅱ)若过原点作曲线的切线与直线垂直,证明:;
(Ⅲ)设,当时,恒成立,求实数的取值范围。
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)证明见解析;(Ⅲ)。
【解析】
试题分析:(Ⅰ)借助题设条件运用导数的知识求解;(Ⅱ)借助题设条件运用导数的知识推证;(Ⅲ)依据题设条件运用导数的知识求解。
试题解析:
(Ⅰ)因为,所以,
设,则,
当时,在上单调递增,在上单调递减,
则,
因为方程有唯一根,
所以,且,
故,所以;
(Ⅱ)因为过原点所作曲线的切线与直线垂直,所以切线的斜率为,且方程为。
设与曲线的切点为,
所以,
所以,且,
令,则,所以在(0,1)上单调递减,在上单调递增。若,因为,,所以,
而在上单调递减,所以。
若,因为在上单调递增,且,则,
所以(舍去)。
综上可知,;
(Ⅲ)因为,所以。。
①当时,因为在上递增,所以,所以在上递增,恒成立,符合题意。
②当时,因为在上递增,因为,则存在,使得。所以在上递减,在上递增,又时,,所以不恒成立,不合题意。综合可知,所求实数的取值范围是。