题目内容

【题目】已知函数,(其中是自然对数的底数)

)若关于的方程有唯一实根,求的值;

)若过原点作曲线的切线与直线垂直,证明:

)设,当时,恒成立,求实数的取值范围

【答案】;()证明见解析;

【解析】

试题分析:借助题设条件运用导数的知识求解;借助题设条件运用导数的知识推证;依据题设条件运用导数的知识求解

试题解析:

)因为,所以

,则

时,上单调递增,在上单调递减,

因为方程有唯一根,

所以,且

,所以

)因为过原点所作曲线的切线与直线垂直,所以切线的斜率为,且方程为

与曲线的切点为

所以

所以,且

,则,所以在(0,1)上单调递减,在上单调递增,因为,所以

上单调递减,所以

,因为上单调递增,且,则

所以(舍去)

综上可知,

)因为,所以

时,因为上递增,所以,所以上递增,恒成立,符合题意

时,因为上递增,因为,则存在,使得所以上递减,在上递增,又时,,所以不恒成立,不合题意综合可知,所求实数的取值范围是

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