题目内容
已知曲线C:(5-m)x2+(m-2)y2=8(m∈R).
(1)若曲线C是焦点在x轴上的椭圆,求m的取值范围;
(2)设m=4,曲线C与y轴的交点为A,B(点A位于点B的上方),直线y=kx+4与曲线C交于不同的两点M,N,直线y=1与直线BM交于点G.求证:A,G,N三点共线.
(1)若曲线C是焦点在x轴上的椭圆,求m的取值范围;
(2)设m=4,曲线C与y轴的交点为A,B(点A位于点B的上方),直线y=kx+4与曲线C交于不同的两点M,N,直线y=1与直线BM交于点G.求证:A,G,N三点共线.
(1)
(2)见解析

学生错解:解:(1)曲线C是焦点在x轴上的椭圆,当且仅当
解得2<m<5,所以m的取值范围是(2,5).
(2)当m=4时,曲线C的方程为x2+2y2=8,点A,B的坐标分别为(0,2),(0,-2).
由
得(1+2k2)x2+16kx+24=0.
设点M,N的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则y1=kx1+4,y2=kx2+4,x1+x2=
,x1x2=
.直线BM的方程为y+2=
x,点G的坐标为
.
因为直线AN和直线AG的斜率分别为kAN=
,kAG=-
,所以kAN-kAG=
=
=
=
=0.
即kAN=kAG.故A,G,N三点共线.
审题引导:(1)方程的曲线是焦点在x轴上的椭圆;
(2)证明三点共线的常用方法.
规范解答:解:(1)曲线C是焦点在x轴上的椭圆,当且仅当
(3分)
解得
<m<5,所以m的取值范围是
.(4分)
(2)当m=4时,曲线C的方程为x2+2y2=8,点A,B的坐标分别为(0,2),(0,-2).(5分)
由
得(1+2k2)x2+16kx+24=0.(6分)
因为直线与曲线C交于不同的两点,所以Δ=(16k)2-4(1+2k2)×24>0,即k2>
.(7分)
设点M,N的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则y1=kx1+4,y2=kx2+4,
x1+x2=
,x1x2=
.(8分)
直线BM的方程为y+2=
x,点G的坐标为
.(9分)
因为直线AN和直线AG的斜率分别为kAN=
,kAG=-
,(11分)
所以kAN-kAG=
=0.
即kAN=kAG.(13分)故A,G,N三点共线.(14分)
错因分析:易忽视焦点在x轴上,漏掉
这一条件,从而失误.联立消元后易忽视Δ>0这一前提条件.

(2)当m=4时,曲线C的方程为x2+2y2=8,点A,B的坐标分别为(0,2),(0,-2).
由

设点M,N的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则y1=kx1+4,y2=kx2+4,x1+x2=




因为直线AN和直线AG的斜率分别为kAN=






即kAN=kAG.故A,G,N三点共线.
审题引导:(1)方程的曲线是焦点在x轴上的椭圆;
(2)证明三点共线的常用方法.
规范解答:解:(1)曲线C是焦点在x轴上的椭圆,当且仅当

解得


(2)当m=4时,曲线C的方程为x2+2y2=8,点A,B的坐标分别为(0,2),(0,-2).(5分)
由

因为直线与曲线C交于不同的两点,所以Δ=(16k)2-4(1+2k2)×24>0,即k2>

设点M,N的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则y1=kx1+4,y2=kx2+4,
x1+x2=


直线BM的方程为y+2=


因为直线AN和直线AG的斜率分别为kAN=


所以kAN-kAG=

即kAN=kAG.(13分)故A,G,N三点共线.(14分)
错因分析:易忽视焦点在x轴上,漏掉


练习册系列答案
相关题目