题目内容
已知椭圆
=1(a>b>0),点P
在椭圆上.
(1)求椭圆的离心率;
(2)设A为椭圆的左顶点,O为坐标原点.若点Q在椭圆上且满足AQ=AO,求直线OQ的斜率的值.


(1)求椭圆的离心率;
(2)设A为椭圆的左顶点,O为坐标原点.若点Q在椭圆上且满足AQ=AO,求直线OQ的斜率的值.
(1)
(2)k=±
.


(1)因为点P
在椭圆上,故
=1,可得
=
.
于是e2=
=1-
=
,所以椭圆的离心率e=
.
(2)设直线OQ的斜率为k,则其方程为y=kx,设点Q的坐标为(x0,y0).
由条件得
消去y0并整理得
=
.①
由AQ=AO,A(-a,0)及y0=kx0,得(x0+a)2+k2
=a2.
整理得(1+k2)
+2ax0=0,而x0≠0,故x0=
,代入①,整理得(1+k2)2=4k2·
+4.由(1)知
=
,故(1+k2)2=
k2+4,
即5k4-22k2-15=0,可得k2=5.所以直线OQ的斜率k=±
.




于是e2=




(2)设直线OQ的斜率为k,则其方程为y=kx,设点Q的坐标为(x0,y0).
由条件得



由AQ=AO,A(-a,0)及y0=kx0,得(x0+a)2+k2

整理得(1+k2)






即5k4-22k2-15=0,可得k2=5.所以直线OQ的斜率k=±


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