题目内容
【题目】设函数,其中
(Ⅰ)求的单调区间;
(Ⅱ)若存在极值点
,且
,其中
,求证:
;
(Ⅲ)设,函数
,求证:
在区间
上最大值不小于
.
【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ)见解析;(Ⅲ)见解析.
【解析】试题分析:(1)求单调区间,先求导解导数大于零求递增区间,导数小于零求递减区间,但要注意a的取值对导数符号得影响(2)函数存在极值点,即将代入导函数等于零,又
所以
从而得证(3)求最值先分析函数单调性即可,然后讨论在区间
得极值和端点值大小来确定最大值,再验证其不小于
即可
试题解析:
(Ⅰ)由,可得
,
下面分两种情况讨论:
(1)当时,有
恒成立,所以
单调递增区间为
(2)当时,令
,解得
,或
,
当变化时,
的变化情况如下表:
|
|
|
|
|
|
| + | 0 | - | 0 | + |
| 单调递增 | 极大值 | 单调递减 | 极小值 | 单调递增 |
所以的单调递减区间为
,单调递增区间为
(Ⅱ)证明:因为存在极值点,所以由(Ⅰ)知
,且
,由题意,得
,即
进而
又
,且
,由题意及(Ⅰ)知,存在唯一实数
满足
,且
,因此
,所以
;
(Ⅲ)证明:设在区间
上的最大值为
,
表示
两数的最大值,下面分三种情况讨论:
(1)当时,
,由(Ⅰ)知,
在区间
上单调递减,所以
在区间
上的取值范围为
,因此
所以
(2)当时,
,由(Ⅰ)和(Ⅱ)知,
,
所以在区间
上的取值范围为
,
因此
(3)当时 时,
,由(Ⅰ)和(Ⅱ)知,
,
,
所以在区间
上的取值范围为
,因此
,
综上所述,当时,
在区间
上的最大值不小于
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
练习册系列答案
相关题目