题目内容
【题目】已知直线的方程为
,点
是抛物线
上到直线
距离最小的点,点
是抛物线上异于点
的点,直线
与直线
交于点
,过点
与
轴平行的直线与抛物线
交于点
.
(Ⅰ)求点的坐标;
(Ⅱ)证明直线恒过定点,并求这个定点的坐标.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)
【解析】
试题分析:(Ⅰ)到直线距离最小的点,可根据点到直线距离公式,取最小值时的点;也可根据几何意义得为与直线
平行且与抛物线相切的切点:如根据点
到直线
的距离
得当且仅当
时取最小值,(Ⅱ)解析几何中定点问题的解决方法,为以算代证,即先求出直线AB方程,根据恒等关系求定点.先设点
,求出直线AP方程
,与直线
方程联立,解出点
纵坐标为
.即得
点的坐标为
,再根据两点式求出直线AB方程
,最后根据方程对应
恒成立得定点
试题解析:(Ⅰ)设点的坐标为
,则
,
所以,点到直线
的距离
.
当且仅当时等号成立,此时
点坐标为
.………………………………4分
(Ⅱ)设点的坐标为
,显然
.
当时,
点坐标为
,直线
的方程为
;
当时,直线
的方程为
,
化简得;
综上,直线的方程为
.
与直线的方程
联立,可得点
的纵坐标为
.
因为,轴,所以
点的纵坐标为
.
因此,点的坐标为
.
当,即
时,直线
的斜率
.
所以直线的方程为
,
整理得.
当,
时,上式对任意
恒成立,
此时,直线恒过定点
,
当时,直线
的方程为
,仍过定点
,
故符合题意的直线恒过定点
.……………………………………13分
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