题目内容

16.已知函数f(x)=aln(1+x)-aln(1-x)-x-$\frac{{x}^{3}}{3(1-{x}^{2})}$.当0<x<1时,f(x)<0,求实数a的取值范围.

分析 求导数,利用判别式分类讨论,结合函数的单调性,即可求实数a的取值范围;

解答 解:f′(x)=$\frac{-2{x}^{4}+(3-6a){x}^{2}+6a-3}{3(1-{x}^{2})^{2}}$,
依题知f(0)=0,故f′(x)≤0,则a≤$\frac{1}{2}$.
令g(x)=-2x2+(3-6a)x+6a-3,x∈(0,1],△=(6a-3)(6a+5)
①-$\frac{5}{6}≤a≤$$\frac{1}{2}$,△≤0,此时g(x)≤0,故f′(x)≤0,而f(0)=0,所以-$\frac{5}{6}≤a≤$$\frac{1}{2}$符合题意.
②a<-$\frac{5}{6}$,△>0,而g(x)对称轴x=$\frac{3-6a}{4}$>2,故g(x)在(0,1)单调递增
且g(1)=-2,则g(x)<0,故f′(x)≤0,而f(0)=0,所以a<-$\frac{5}{6}$符合题意.
综上,a≤$\frac{1}{2}$.

点评 本题考查导数知识的综合运用,考查函数的单调性,考查不等式的证明,正确运用导数的关键.属于中档题目.

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