题目内容
如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆的中心在原点O,右焦点F在x轴上,椭圆与y轴交于A、B两点,其右准线l与x轴交于T点,直线BF交椭圆于C点,P为椭圆上弧AC上的一点.
(1)求证:A、C、T三点共线;
(2)如果=3,四边形APCB的面积最大值为,求此时椭圆的方程和P点坐标.
(1)求证:A、C、T三点共线;
(2)如果=3,四边形APCB的面积最大值为,求此时椭圆的方程和P点坐标.
(1)见解析(2)椭圆方程为+y2=1.P点坐标为
(1)证明:设椭圆方程为=1(a>b>0)①,则A(0,b),B(0,-b),T.
AT:=1②,BF:=1③,解得交点C,代入①得
==1,满足①式,则C点在椭圆上,即A、C、T
三点共线.
(2)解:过C作CE⊥x轴,垂足为E,则△OBF∽△ECF.
∵=3,CE=b,EF=c,则C,代入①得=1,∴a2=2c2,b2=c2.设P(x0,y0),则x0+2=2c2.此时C,AC=c,S△ABC=·2c·=c2,
直线AC的方程为x+2y-2c=0,P到直线AC的距离为d=,
S△APC=d·AC=··c=·c.只须求x0+2y0的最大值,
(解法1)∵(x0+2y0)2=+4+2·2x0y0≤+4+2(+)=3(+2)=6c2,∴x0+2y0≤c.当且仅当x0=y0=c时,(x0+2y0)max=c.
(解法2)令x0+2y0=t,代入+2=2c2得(t-2y0)2+2-2c2=0,即6-4ty0+t2-2c2=0.Δ=(-4t)2-24(t2-2c2)≥0,得t≤c.当t=c,代入原方程解得x0=y0=c.
∴四边形的面积最大值为c2+c2=c2=,∴c2=1,a2=2,b2=1,此时椭圆方程为+y2=1.P点坐标为.
AT:=1②,BF:=1③,解得交点C,代入①得
==1,满足①式,则C点在椭圆上,即A、C、T
三点共线.
(2)解:过C作CE⊥x轴,垂足为E,则△OBF∽△ECF.
∵=3,CE=b,EF=c,则C,代入①得=1,∴a2=2c2,b2=c2.设P(x0,y0),则x0+2=2c2.此时C,AC=c,S△ABC=·2c·=c2,
直线AC的方程为x+2y-2c=0,P到直线AC的距离为d=,
S△APC=d·AC=··c=·c.只须求x0+2y0的最大值,
(解法1)∵(x0+2y0)2=+4+2·2x0y0≤+4+2(+)=3(+2)=6c2,∴x0+2y0≤c.当且仅当x0=y0=c时,(x0+2y0)max=c.
(解法2)令x0+2y0=t,代入+2=2c2得(t-2y0)2+2-2c2=0,即6-4ty0+t2-2c2=0.Δ=(-4t)2-24(t2-2c2)≥0,得t≤c.当t=c,代入原方程解得x0=y0=c.
∴四边形的面积最大值为c2+c2=c2=,∴c2=1,a2=2,b2=1,此时椭圆方程为+y2=1.P点坐标为.
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