题目内容
如图，已知焦点在
轴上的椭圆
经过点
，直线
交椭圆于
不同的两点．
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）求实数
的取值范围；
（3）是否存在实数，使△
是以
为直角的直角三角形，若存在，求出的值，若不存，请说明理由．
轴上的椭圆经过点，直线交椭圆于
不同的两点．（1）求该椭圆的标准方程；
（2）求实数
的取值范围；（3）是否存在实数
，使△是以为直角的直角三角形，若存在，求出的值，若不存，请说明理由．（1）
（2）
（3）见解析
（2）（3）见解析试题分析：（1）设出椭圆方程的标准形式，由离心率的值及椭圆过点（4，1）求出待定系数，得到椭圆的标准方程．
（2）把直线方程代入椭圆的方程，由判别式大于0，求出m的范围即可；
（3）对于存在性问题，可先假设存在，即假设存在实数m满足题意，再利用△ABM为直角三角形，结合向量垂直的条件求出m，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．
试题解析：解：（1）依题意
，解得
， 2分所以椭圆的标准方程是
． 3分（2）由
得
， 4分
直线
与椭圆有两个不同的交点，
6分解得
7分（3）假设存在实数
满足题意，则由为直角得
， 8分设
，
，由（2）得
，
9分
，
10分
，
11分
12分
得
13分因为
，综上所述，存在实数
使△
为直角三角形． 14分
练习册系列答案
相关题目
的方程为
,其中
.
，证明：点
的由顶点为A，右焦点为F，直线
与x轴交于点B且与直线
交于点C，点O为坐标原点，
,过点F的直线
与椭圆交于不同的两点M,N.
的面积的最大值. 
(
)的短轴长为2，离心率为
的直线与椭圆C相交于两点G、H，设P为椭圆C上一点，且满足
（
为坐标原点），当
时，求实数
的取值范围？
＝3
，四边形APCB的面积最大值为
，求此时椭圆的方程和P点坐标．
与双曲线
有相同的焦点，则
的值是( )
的焦点分别为
，弦
过点
，则
的周长为
=1的左、右两个焦点，若椭圆上满足PF1⊥PF2的点P有且只有两个，则离心率e的值为（ ）
，左、右准线分别为l1：x＝－m－1，l2：x＝m＋1，且l1、l2分别与直线y＝x相交于A、B两点．
，求椭圆的方程；
·
<7时，求椭圆离心率的取值范围．