Question

6．已知函数f（x）=$\frac{x-1}{x-3}$+x
（1）求使f（x）≥0的x的取值范围；
（2）当x＜3时，f（x）是否有最大值？若有，求出最大值；若没有，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）运用分情况讨论，即分母大于0，分母小于0，两种，结合二次不等式的解法，即可得到解集；
（2）由x＜3可得3-x＞0，函数f（x）=$\frac{x-1}{x-3}$+x=（x-3）+$\frac{2}{x-3}$+4=4-[（3-x）+$\frac{2}{3-x}$]，运用基本不等式，可得最大值，注意等号成立的条件．

解答 解：（1）f（x）≥0即为$\frac{x-1}{x-3}$+x≥0，
即有$\frac{{x}^{2}-2x-1}{x-3}$≥0，
即$\left\{\begin{array}{l}{x-3＞0}\\{{x}^{2}-2x-1≥0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x-3＜0}\\{{x}^{2}-2x-1≤0}\end{array}\right.$，
即有$\left\{\begin{array}{l}{x＞3}\\{x≥1+\sqrt{2}或x≤1-\sqrt{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x＜3}\\{1-\sqrt{2}≤x≤1+\sqrt{2}}\end{array}\right.$，
则x＞3或1-$\sqrt{2}$≤x≤1+$\sqrt{2}$．
即有解集为（3，+∞）∪[1-$\sqrt{2}$，1+$\sqrt{2}$]；
（2）当x＜3时，x-3＜0，即3-x＞0，
函数f（x）=$\frac{x-1}{x-3}$+x
=（x-3）+$\frac{2}{x-3}$+4=4-[（3-x）+$\frac{2}{3-x}$]
≤4-2$\sqrt{（3-x）•\frac{2}{3-x}}$=4-2$\sqrt{2}$．
当且仅当3-x=$\frac{2}{3-x}$，即x=3-$\sqrt{2}$＜3，f（x）取得最大值，
且为4-2$\sqrt{2}$．
故x＜3时，f（x）有最大值4-2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查分式不等式的解法和分式函数的最值，考查基本不等式的运用，属于中档题．