Question

16．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左顶点为（-2$\sqrt{3}$，0），其离心率等于$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）设直线y=k x 与椭圆相交于A，B两点，右焦点为F₂，M，N分别为线段AF₂，BF₂的中点，若坐标原点O在以MN为直径的圆上，求k 的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过左顶点可知a=$2\sqrt{3}$，利用离心率的值可知c=3，进而计算可得结论；
（Ⅱ） 通过坐标原点O在以MN为直径的圆上可知OM⊥ON，利用OM、ON均是△ABF₂的中位线可知四边形OMF₂N为矩形，进而AF₂⊥BF₂，联立直线与椭圆方程、利用韦达定理解方程$\overrightarrow{{F_2}A}$•$\overrightarrow{{F_2}B}$=0即得结论．

解答 解：（Ⅰ）由题意得$\left\{\begin{array}{l}a=2\sqrt{3}\\ \frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}\end{array}\right.$，
∴c=3，∴b²=a²-c²=3，
因此a²=12，b²=3，
故椭圆方程为$\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{3}=1$；
（Ⅱ） 联立$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{3}=1\\ y=kx\end{array}\right.$，消去y、整理得（1+4k²）x²-12=0，
设A（x₁，y₁）．B（x₂，y₂），
则${x_1}+{x_2}=0，{x_1}{x_2}=\frac{-12}{{1+4{k^2}}}$，
∵坐标原点O在以MN为直径的圆上，
∴OM⊥ON，
又∵OM、ON均是△ABF₂的中位线，
∴四边形OMF₂N为矩形，
∴AF₂⊥BF₂，
∵$\overrightarrow{{F_2}A}$=（x₁-3，y₁），$\overrightarrow{{F_2}B}$=（x₂-3，y₂），
∴$\overrightarrow{{F_2}A}$•$\overrightarrow{{F_2}B}$=$（{{x_1}-3}）（{{x_2}-3}）+{y_1}{y_2}=（{1+{k^2}}）{x_1}{x_2}+9=0$，
即$\frac{{-12（1+{k^2}）}}{{1+4{k^2}}}+9=0$，
解得$k=±\frac{{\sqrt{2}}}{4}$．

点评 本题考查椭圆的简单性质，注意解题方法的积累，属于中档题．