Question

15．已知函数f（x）=$\frac{ax+b}{1+{x}^{2}}$是定义在（-1，1）上的奇函数，其中b∈R，a为正整数，且满足f（1）$≤\frac{1}{2}$．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）判断函数f（x）在（-1，1）上的单调性；
（3）求满足f（m²-2m）+f（m）＜0的实数m的范围．

Answer 1

分析 （1）根据函数奇偶性的性质以及不等式的关系即可得到结论．
（2）根据单调性的定义可得结论；
（3）结合函数 的奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化求解，注意定义域的问题．

解答 解：（1）∵f（x）是定义在（-1，1）上的奇函数，
∴f（0）=0，
即f（0）=b=0，
则f（x）=$\frac{ax}{1+{x}^{2}}$，
∵f（1）$≤\frac{1}{2}$．
∴f（1）=$\frac{a}{2}$$≤\frac{1}{2}$．则a≤1，
∵a为正整数，
∴a=1．
故函数f（x）的解析式f（x）=$\frac{x}{1+{x}^{2}}$；
（2）∵函数f（x）是奇函数，∴只需要判断函数f（x）在[0，1）上的单调性即可；
在定义域中任取两个实数x₁，x₂，且0≤x₁＜x₂＜1
则f（x₁）-f（x₂）=$\frac{{x}_{1}}{1+{{x}_{1}}^{2}}$-$\frac{{x}_{2}}{1+{{x}_{2}}^{2}}$=$\frac{{x}_{1}（1+{{x}_{2}}^{2}）-{x}_{2}（1+{{x}_{1}}^{2}）}{（1+{{x}_{1}}^{2}）（1+{{x}_{2}}^{2}）}$=$\frac{（{x}_{1}-{x}_{2}）（1-{x}_{1}{x}_{2}）}{（1+{{x}_{1}}^{2}）（1+{{x}_{2}}^{2}）}$，
∵0≤x₁＜x₂＜1
∴x₁-x₂＜0，0＜x₁x₂＜1，
则f（x₁）-f（x₂）=$\frac{（{x}_{1}-{x}_{2}）（1-{x}_{1}{x}_{2}）}{（1+{{x}_{1}}^{2}）（1+{{x}_{2}}^{2}）}$＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
故函数在[0，1）上的单调递增，
∵函数是奇函数，
∴函数f（x）在（-1，1）上的单调递增．
3）由f（m²-2m）+f（m）＜0
得f（m²-2m）＜-f（m）=f（-m），
∵函数f（x）在（-1，1）上的单调递增．
∴$\left\{\begin{array}{l}{-1＜{m}^{2}-2m＜1}\\{-1＜m＜1}\\{{m}^{2}-2m＜-m}\end{array}\right.$，
解得0＜m＜1，
即实数m的范围是（0，1）．

点评 本题主要考查函数的奇偶性、单调性的应用，注意函数的定义域，体现了转化的数学思想，利用函数奇偶性和单调性的定义是解决本题的关键．