Question

10．如图所示，直线y=kx分抛物线y=x²-x与x轴所围成图形为面积相等的两部分，则实数k的值为$\frac{\root{3}{4}}{2}-1$．

Answer 1

分析 由题意得到${∫}_{0}^{1}（x-{x}^{2}）dx$=2${∫}_{0}^{k+1}（kx-{x}^{2}+x）dx$整理得到关于k的等式解之．

解答 解：由题意由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{y={x}^{2}-x}\end{array}\right.$得到交点为（0，0），（k+1，k（k+1）），
所以${∫}_{0}^{1}（x-{x}^{2}）dx$=2${∫}_{0}^{k+1}（kx-{x}^{2}+x）dx$
整理得（$\frac{1}{2}{x}^{2}-\frac{1}{3}{x}^{3}$）|${\;}_{0}^{1}$=2（$\frac{k}{2}{x}^{2}-\frac{1}{3}{x}^{3}+\frac{1}{2}{x}^{2}$）|${\;}_{0}^{k+1}$
所以（k+1）³=$\frac{1}{2}$，解得k=$\frac{\root{3}{4}}{2}-1$；
故答案为：$\frac{{\root{3}{4}}}{2}-1$

点评 本题考查了运用定积分求曲边梯形的面积；关键是利用定积分表示出面积的关系．