Question

1．在等比数列{a_n}中，a₂=3，a₅=81
（Ⅰ）求a_n及其前n项和S_n；
（Ⅱ）设b_n=1+log₃a_n，求数列{$\frac{1}{{b}_{n}•{b}_{n+1}}$}的前10项和T₁₀．

Answer 1

分析 （1）通过$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}q=3}\\{{a}_{1}{q}^{4}=81}\end{array}\right.$计算可知首项和公比，进而计算可得结论；
（2）通过（1）及对数的性质可知b_n=n，通过裂项可知$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，并项相加即得结论．

解答 解：（1）设等比数列{a_n}的公比为q，依题意得
$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}q=3}\\{{a}_{1}{q}^{4}=81}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=1}\\{q=3}\end{array}\right.$，
∴a_n=3^n-1，
S_n=$\frac{1-{3}^{n}}{1-3}$=$\frac{{3}^{n}-1}{2}$；
（2）由（1）知b_n=1+log₃a_n=1+（n-1）=n，
∴$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
∴T₁₀=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{10}$-$\frac{1}{11}$
=1-$\frac{1}{11}$
=$\frac{10}{11}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．