Question

5．已知（$\root{3}{x}$+x²）²ⁿ的展开式的系数和比（3x-1）ⁿ的展开式的系数和大992，求（2x-$\frac{1}{x}$）²ⁿ的展开式中系数最大的项．

Answer 1

分析 先根据条件求得n=5，可得（2x-$\frac{1}{x}$）²ⁿ的通项公式，从而求得（2x-$\frac{1}{x}$）²ⁿ的展开式中系数最大的项．

解答 解：根据（$\root{3}{x}$+x²）²ⁿ的展开式的系数和比（3x-1）ⁿ的展开式的系数和大992，
可得2²ⁿ-2ⁿ=992，求得2ⁿ=32，或 2ⁿ=31（舍去），∴n=5．
故（2x-$\frac{1}{x}$）²ⁿ=（2x-$\frac{1}{x}$）¹⁰ 的展开式的通项公式为 T_r+1=${C}_{10}^{r}$•（-1）^r•2^10-r•x^10-2r，
故第r+1项的系数为${C}_{10}^{r}$•（-1）^r•2^10-r，检验可得，当r=4时，第r+1项的系数为${C}_{10}^{r}$•（-1）^r•2^10-r最大，
故（2x-$\frac{1}{x}$）²ⁿ的展开式中系数最大的项为T₅=13440x²．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式；注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于基础题．