Question

17．若函数f（x）=$\frac{1}{n}{e^{mx}}$（m，n∈R⁺）的图象在x=0处的切线l与圆C：x²+y²=1相切，则m+n的最大值为（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． $\sqrt{2}$
• D． $2\sqrt{2}$

Answer 1

分析 求导数，求出切线方程，利用切线与圆x²+y²=1相切，可得m²+n²=1，利用基本不等式，可求m+n的最大值．

解答 解：求导数，可得f′（x）=$\frac{m}{n}$e^mx，
令x=0，则f′（0）=$\frac{m}{n}$，又f（0）=$\frac{1}{n}$，
则切线方程为y-$\frac{1}{n}$=$\frac{m}{n}$（x-0），
即mx-ny+1=0，
∵切线与圆x²+y²=1相切，
∴$\frac{1}{\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}}$=1，
∴m²+n²=1，
∵m＞0，n＞0
∴m²+n²≥2mn，
∴2（m²+n²）≥（m+n）²
∴m+n≤$\sqrt{2（{m}^{2}+{n}^{2}）}$=$\sqrt{2}$，
∴m+n的最大值是$\sqrt{2}$．
故选C．

点评 本题考查导数的几何意义，考查直线与圆相切的条件，考查基本不等式的运用，属于中档题．