Question

8．设集合A={（x，y）|y=$\sqrt{{2a}^{2}-{x}^{2}}$，a＞0}，B={（x，y）|（x-1）²+（y-$\sqrt{3}$）²=a²，a＞0}，若A∩B≠∅，则a_max=2$\sqrt{2}$+2a_min=2$\sqrt{2}$-2．

Answer 1

分析 集合A={（x，y）|y=$\sqrt{{2a}^{2}-{x}^{2}}$，a＞0}表示以原点为圆心，以$\sqrt{2}a$为半径的半圆，集合B={（x，y）|（x-1）²+（y-$\sqrt{3}$）²=a²，a＞0}，表示以（1，$\sqrt{3}$）为圆心，以a为半径的圆，若A∩B≠∅，则半圆与圆有交点，进而两圆的位置关系，可得答案．

解答 解：集合A={（x，y）|y=$\sqrt{{2a}^{2}-{x}^{2}}$，a＞0}表示以原点为圆心，以$\sqrt{2}a$为半径的半圆，
集合B={（x，y）|（x-1）²+（y-$\sqrt{3}$）²=a²，a＞0}，表示以（1，$\sqrt{3}$）为圆心，以a为半径的圆，
若A∩B≠∅，则半圆与圆有交点，由圆心距离d=2，可得：
当半圆与椭圆相内切时，a取最大值，
此时（$\sqrt{2}$-1）a=2，此时a=2$\sqrt{2}$+2，
当半圆与椭圆相外切时，a取最小值，
此时（$\sqrt{2}$+1）a=2，此时a=2$\sqrt{2}$-2，
故答案为：2$\sqrt{2}$+2，2$\sqrt{2}$-2

点评 本题考查的知识点是集合的交集运算，两圆的位置关系，难度中档．