Question

20．给出下列五四个命题：
①若直线l₁：a²x-y+6=0与直线l₂：4x-（a-3）y+9=0互相垂直，则a=-1；
②圆C₁：x²+y²+2x=0与圆C₂：x²+y²+2y-1=0恰有两条公切线；
③已知F₁，F₂是椭圆$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}$=1的左右焦点，P为椭圆上一点，且|PF₁|=3，则|PF₂|=1；
④双曲线$\frac{y^2}{9}-\frac{x^2}{16}$=1的顶点到渐近线的距离为$\frac{12}{5}$；
⑤已知过点P（2，0）的直线与抛物线y²=8x交于A、B两点，O为坐标原点，则$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=-12．
其中正确命题的序号是②④⑤（把你认为正确的序号都填上）

Answer 1

分析 利用两条直线互相垂直的充要条件，得到关于a的方程可求，可判断①，
先求两圆的圆心和半径，判定两圆的位置关系，即可判定公切线的条数，可判断②，
根据椭圆的定义，可判断③，
根据点到直线的距离以及双曲线的渐近线方程，即可判断④，
由抛物线y²=8x与过其焦点（2，0）的直线方程联立，消去y整理成关于x的一元二次方程，设出A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）两点坐标，$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=x₁•x₂+y₁•y₂，由韦达定理可以求得答案，即可判断⑤．

解答 解：对于①：由于两条直线互相垂直，所以4a²+（a-3）=0，∴a=-1或$\frac{3}{4}$，故①错误；
对于②：两圆的圆心分别是（-1，0），（0，-1），半径分别是1，$\sqrt{2}$，两圆圆心距离d=$\sqrt{2}$＜1+$\sqrt{2}$：说明两圆相交，因而公切线只有两条，故②正确；
对于③：因为a=4，|PF₁|+|PF₂|=2a=8，若|PF₁|=3，则|PF₂|=5，故③错误；
对于④双曲线的渐近线的方程为y=±$\frac{3}{4}x$，其定点坐标为（0，3），（0，-3），顶点到渐近线的距离d=$\frac{12}{5}$，故④正确，
对于⑤解：由题意知，抛物线y²=8x的焦点坐标为（2，0），∴直线AB的方程为y=k（x-2），
由$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=8x}\\{y=k（x-2）}\end{array}\right.$得k²x²-（4k²+8）x+4k²=0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁•x₂=4，x₁+x₂=$\frac{4{k}^{2}+8}{{k}^{2}}$，
y₁•y₂=k（x₁-2）•k（x₂-2）=k²[x₁•x₂-2（x₁+x₂）+4]=k²[4-2×$\frac{4{k}^{2}+8}{{k}^{2}}$+4]=-16
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=-=x₁•x₂+y₁•y₂=4-16=-12，故⑤正确．

点评 本题考查了圆锥曲线的定义和性质，直线和直线，以及圆与圆的位置关系，属于中档题．