Question

15．已知正实数x+y满足log_ax+log_ay=c，其中a＞1，c∈R．
（1）若a=c=2，则x+y的最小值为4；
（2）若c=3时，对任意的x∈[a，2a]，都有y∈[a，a²]使得上述方程成立，则a的取值范围是[2，+∞）．

Answer 1

分析 （1）根据对数的运算法则进行化简，结合基本不等式进行求解即可，
（2）先由方程log_ax+log_ay=3解出y，转化为函数的值域问题求解．

解答 解：（1）∵log_ax+log_ay=c，其中a＞1，c∈R．
∴log_a（xy）=c，且x＞0，y＞0
则xy=a^c，
若a=c=2，
则xy=2²=4，
则x+y$≥2\sqrt{xy}$=2$\sqrt{4}$=4，
当且仅当x=4=2时取等号，
故最小值为4．
（2）若c=3，
则xy=a³，即$y=\frac{a^3}{x}$，
则函数在[a，2a]上单调递减，
若任意的x∈[a，2a]，都有y∈[a，a²]使得上述方程成立，
∴$y∈[\frac{a^2}{2}，{a^2}]$，
故$\frac{{a}^{2}}{2}≥a$，
解得a≥2
故答案为（1）4；（2）[2，+∞）

点评 本题考查对数式的运算、反比例函数的值域、集合的关系等问题，注意函数和方程思想的应用．比较基础．