题目内容
【题目】设椭圆,其长轴长是短轴长的
倍,过焦点且垂直于
轴的直线被椭圆截得的弦长为
.
(1)求椭圆的方程;
(2)点是椭圆
上横坐标大于
的动点,点
在
轴上,圆
内切于
,试判断点
在何位置时
的长度最小,并证明你的判断.
【答案】(1);(2)点
的横坐标为
时,
的长度最小.见解析.
【解析】
(1)根据条件列方程组,解得;
(2)先设,
,根据点斜式得直线
的方程,再根据直线与圆相切列等量关系得
,类似可得
,转化为
是方程
的两个根,利用韦达定理解得
,根据
点满足椭圆方程,代入化简得
,最后根据
范围以及函数单调性求最值,即得结果.
(1)由已知,
因为过焦点且垂直于轴的直线被椭圆截得的弦长为
,
,
解得,故所求椭圆方程为
.
(2)设,
.
不妨设,则直线
的方程为
,即
,
又圆心到直线
的距离为
,即
,
化简得同理,
,
是方程
的两个根,
,则
,
是椭圆上的点,∴
,
.
令,令
,则
,
,
当时,
取到最小值,此时
,即点
的横坐标为
时,
的长度最小.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】中国农业银行开始为全国农行ATM机安装刷脸取款系统.某农行营业点为调查居民对刷脸取款知识的了解情况,制作了刷脸取款知识有奖调查问卷,发放给2018年度该行的所有客户,并从参与调查且年龄(单位:岁)在[25,55]内的客户中随机抽取100名给予物质奖励,再从中选出一名客户参加幸运大抽奖.调查结果按年龄分成6组,制作成如下的频数分布表和女客户的年龄茎叶图,其中a∶b∶c=2∶4∶5.
年龄/岁 | [25,30) | [30,35) | [35,40) | [40,45) | [45,50) | [50,55] |
频数/人 | 5 | a | b | c | 15 | 25 |
女客户的年龄茎叶图
幸运大抽奖方案如下:客户最多有两次抽奖机会,每次抽奖的中奖率均为,第一次抽奖,若未中奖,则抽奖结束.若中奖,则通过抛掷一枚质地均匀的硬币,决定是否继续进行第二次抽奖.规定:抛出的硬币,若反面朝上,则客户获得5000元奖金,不进行第二次抽奖;若正面朝上,客户需进行第二次抽奖,且在第二次抽奖中,如果中奖,则获得奖金10000元,如果未中奖,则所获得的奖金为0元.
(1)求a,b,c的值,若分别从男、女客户中随机选取1人,求这2人的年龄均在[40,45)内的概率;
(2)若参加幸运大抽奖的客户所获奖金(单位:元)用X表示,求X的分布列与数学期望E(X).