题目内容
【题目】已知函数.
(1)求函数的最小值;
(2)若恒成立,求实数
的值;
(3)设有两个极值点
,求实数
的取值范围,并证明
.
【答案】(1)0;(2)1;(2),证明见解析.
【解析】
(1)先求的定义域,然后对
求导,令
寻找极值点,从而求出极值与最值;
(2)构造函数,又
,则只需
恒成立,再证
在
处取到最小值即可;(3)
有两个极值点等价于方程在
上有两个不等的正根,由此可得
的取值范围,
,由根与系数可知
及
范围为
,代入上式得
,利用导函数求
的最小值即可.
(1),
,
令G′(x)>0,解得x>1,此时函数G(x)单调递增,
令G′(x)<0,解得0<x<1,此时函数G(x)单调递减,
又G′(1)=0,∴x=1是函数G(x)的极小值点,也是最小值,且G(1)=0.
当时,
的最小值为0.
(2)令,则
.
所以即
恒成立的必要条件是
,
又,由
得:
.
当时,
,知
,
故,即
恒成立.
(3)由,得
.
有两个极值点
、
等价于方程
在
上有两个不等的正根,即:
,解得
.
由,得
,其中
.
所以.
设,得
,
所以,即
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】随着资本市场的强势进入,互联网共享单车“忽如一夜春风来”,遍布了一二线城市的大街小巷.为了解共享单车在市的使用情况,某调查机构借助网络进行了问卷调查,并从参与调查的网友中随机抽取了200人进行抽样分析,得到下表(单位:人):
经常使用 | 偶尔或不用 | 合计 | |
30岁及以下 | 70 | 30 | 100 |
30岁以上 | 60 | 40 | 100 |
合计 | 130 | 70 | 200 |
(1)根据以上数据,能否在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为市使用共享单车情况与年龄有关?
(2)现从所有抽取的30岁以上的网民中利用分层抽样抽取5人,
求这5人中经常使用、偶尔或不用共享单车的人数;
从这5人中,在随机选出2人赠送一件礼品,求选出的2人中至少有1人经常使用共享单车的概率.
参考公式: ,其中
.
| 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |