题目内容
【题目】如图,在三棱柱中,
,
,
为
的中点,点
在平面
内的射影在线段
上.
(1)求证:;
(2)若是正三角形,求三棱柱
的体积.
【答案】(1)见证明;(2)
【解析】
(1)分别证明和
,结合直线与平面垂直判定,即可。(2)法一:计算
,结合
和
,即可。法二 :计算
,结合
,计算体积,即可。法三:结合
,计算结果,即可。
(1)证明:设点在平面
内的射影为
,
则,
,且
,因
,所以
.
在中,
,
,
则,在
中,
,
,
则,
故,故
.
因,故
.
(2)法一、,
由(1)得,故
是三棱锥
的高,
是正三角形,
,
,
,
,
故三棱柱的体积,故三棱柱
的体积为
.
法二、将三棱柱补成四棱柱如图,因且高一样,
故,
故,
由(1)得,故
是四棱柱
的高,
故,
故,故三棱柱
的体积为
.
法三、在三棱锥中,由(1)得
,
是三棱锥
的高,6分
记到平面
的距离为
,
由得
,即
,
为
的中点,故
到平面
的距离为
,
.
故三棱柱的体积为
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
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