题目内容

抛物线y2=4x的焦点为F,A(x1,y1),B(x2,y2),(x1>x2,y1>0,y2<0)在抛物线上且A,B,F三点共线且|AB|=
25
4

求(1)直线AB的方程.
(2)△AOB外接圆方程.
(1)∵y2=4x的焦点F(1,0),
依题意,设直线AB的方程为y=k(x-1),因为|AB|=
25
4

由抛物线的定义可得:|AB|=|AA′|+|BB′|=x1+1+x2+1=
25
4

∴x1+x2=
17
4


y=k(x-1)
y2=4x
得:k2x2-(2k2+4)x+k2=0,
∴x1+x2=
2k2+4
k2
=
17
4

∴k2=
16
9
,又k>0,
∴k=
4
3

∴直线AB的方程为:y=
4
3
(x-1).
(2)将k2=
16
9
代入k2x2-(2k2+4)x+k2=0得:4x2-17x+4=0,
∴x=
1
4
或x=4,即x1=4,x2=
1
4
,将x1,x2分别代入直线AB的方程y=
4
3
(x-1)得:y1=4,y2=-1.
∴A(4,4),B(
1
4
,-1).
设△AOB外接圆方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,
则:
F=0
16+16+4D+4E=0
1
16
+1+
1
4
D-E=0
,解得
F=0
D=-
29
4
E=-
3
4

故△AOB外接圆方程为x2+y2-
29
4
x-
3
4
y=0.
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