题目内容
【题目】设函数.
(1)求曲线在点
处的切线方程;
(2)若函数在
上恰有2个零点,求
的取值范围;
(3)当时,若
对任意的正整数
在区间
上始终存在
个整数使得
成立,试问:正整数
是否存在最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,说明理由.
【答案】(1) (2)
(3)
【解析】分析:(1)求出函数的导数,计算f(1),f′(1)的值,求出切线方程即可;
(2)得到=
,令p(x)=
,结合函数的单调性求出a的范围即可;
(3)求出h(x)的导数,根据函数的单调性求出h(x)的最值,从而求出m的范围即可.
详解:(1)函数的定义域为
,所以
所以且
由导数几何意义知在点
处的切线方程为
,即
(2)由,∴
令,所以
,
所以在
上单调递增,在
上单调递减,所以当
时,
取得极大值,也是最大值.
因为,
,且
时,
,
故,所以
(3)由题意,
,
因为,所以
所以在
上单调递增,
∴,
由题意,恒成立
令,且
在
上单调递增,
因此,而
是正整数,故
,
所以时,存在
,
时,
对所有满足题意,
∴.
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