Question

【题目】已知函数f(x)＝log4(ax2＋2x＋3)．

(1)若f(x)定义域为R，求a的取值范围；

(2)若f(1)＝1，求f(x)的单调区间；

(3)是否存在实数a，使f(x)的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1） ； （2）单调递增区间是，单调递减区间是； （3）.

【解析】

(1)因为f(x)的定义域为R，所以ax2＋2x＋3＞0对任意x∈R恒成立．

显然a＝0时不合题意，从而必有 解之即可.

(2)由f(1)＝1，可得f(x)＝log4(－x2＋2x＋3)．求出定义域，利用复合函数单调性判断f(x)的单调区间；

(3) 假设存在实数a使f(x)的最小值为0，则h(x)＝ax2＋2x＋3应有最小值1，由此可求a的值.

(1)因为f(x)的定义域为R，所以ax2＋2x＋3＞0对任意x∈R恒成立．

显然a＝0时不合题意，从而必有即

解得a＞.

即a的取值范围是.

(2)因为f(1)＝1，所以log4(a＋5)＝1，因此a＋5＝4，a＝－1，这时f(x)＝log4(－x2＋2x＋3)．

由－x2＋2x＋3＞0得－1＜x＜3，即函数定义域为(－1,3)．

令g(x)＝－x2＋2x＋3,则g(x)在(－1,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减．又y＝log4x在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)的单调递增区间是(－1,1)，单调递减区间是(1,3)．

(3)假设存在实数a使f(x)的最小值为0，则h(x)＝ax2＋2x＋3应有最小值1，

因此应有解得a＝.

故存在实数a＝使f(x)的最小值为0.