Question

【题目】在等腰梯形中，，直线平面，，点为的中点，且，.

（1）求证：平面；

（2）求证：平面平面；

（3）求直线与平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】(1)见解析(2)见解析（3）

【解析】分析：（1）取FC中点N，连接EN，推导出四边形EDCN是平行四边形，从而ENDC，连接NG，推导出四边形EAGN是平行四边形，从而EA∥NG，由此能证明AE∥平面GCF．

（2）由DCAG，得四边形AGCD为平行四边形，从而AD=GC，推导出AC⊥BC，AC⊥CF，从而AC⊥平面BCF，由此能证明平面ACF⊥平面BCF．

（3）推导出ED∥平面GCF，AE∥平面GCF，从而平面ADE∥平面GCF，进而直线FB与平面ADE所成角也为直线FB与平面GCF所成角．由此能求出直线FB与平面ADF所成角正弦值．

详解：（1）证明：取中点，连接，因为，，所以平行且等于，

所以四边形是平行四边形，所以平行且等于，

连接平行且等于，又平行且等于，

所以平行且等于，所以四边形是平行四边形，所以，

又平面，平面，所以平面.

（2）∵平行且等于，∴四边形为平行四边形，

∴，

∵，∴，

∵，∴为等边三角形，

∵，

∴，由余弦定理得

，

所以即，

所以，又，，

所以平面，又平面，

所以平面平面.

（3）因为，平面，平面，所以平面，

由（1）知平面，且，所以平面平面，

所以直线与平面所成角也为直线与平面所成角.

由（2）知，设为中点，连接,所以.

因为平面，所以，因为，

所以平面，

所以为直线与平面所成角，

因为，

在直角中，，

所以直线与平面所成角的正弦值为.