题目内容
【题目】设椭圆的离心率
,抛物线
的焦点恰好是椭圆
的右焦点
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)过点作两条斜率都存在的直线
,设
与椭圆
交于
两点,
与椭圆
交于
两点,若
是
与
的等比中项,求
的最小值.
【答案】(1);(2)
.
【解析】
(1)求出抛物线的焦点可得
,再根据离心率
求得
,从而可得
,进而可得结果;(2)先利用勾股定理证明
,可设直线
,直线
,分别与椭圆方程联立,根据韦达定理,两点间距离公式求得
,化为
,利用基本不等式求解即可.
(1)依题意得椭圆C的右焦点F的坐标为,即
,
又,
所以,
,故椭圆C的标准方程为
.
(2)因为是
与
的等比中项,
所以,即
,
所以直线,
又直线,
的斜率均存在,
所以两直线的斜率都不为零,
故可设直线,直线
,
,
,
,
,
由消去x,得
,
所以,
同理得,
所以,
,
,
又,所以
(当且仅当
时取等号),
故的最小值为
.
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