Question

【题目】已知抛物线与圆的一个公共点为．

（1）求圆的方程；

（2）已知过点A的直线与抛物线C交于另一点B，若抛物线C在点A处的切线与直线垂直，求直线的方程．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）把代入抛物线、圆的方程求得、即可求得圆的方程．

（2）由△求得切线斜率，写出的方程，求得的坐标，即可求得直线方程．

（1）由点在抛物线上可知，

把点代入圆方程，得，

所以圆M的方程为；

（2）法1：若直线l的斜率不存在，则l的方程为时，显然有，不合题意．

若直线l的斜率存在，设l的方程为，即，

联立，得﹐得，

设，又，则，得，

由，得，

设过点A的抛物线C的切线的斜率为，则依题意有，

解得，

由，解得，

所以直线l的方程为．

法2：设l的方程为，得，

联立﹐得．

设，又，则，得，

由，得，

设过点A的抛物线C的切线为，则依题意有，

解得，得，

由，解得．

所以直线l的方程为．

法3：当时，抛物线C的方程为，∵，

∴抛物线C在点A处的切线的斜率为：，依题意得直线OB的斜率．

∴直线OB的方程为﹐

由可得，

∴，

∴所求直线l的方程为.