题目内容
如图,四棱锥S-ABCD的底面是正方形,每条侧棱的长都是地面边长的倍,P为侧棱SD上的点。
(1)求证:AC⊥SD;
(2)若SD⊥平面PAC,求二面角P-AC-D的大小
(3)在(2)的条件下,侧棱SC上是否存在一点E,使得BE∥平面PAC。若存在,求SE:EC的值;若不存在,试说明理由。
(1)求证:AC⊥SD;
(2)若SD⊥平面PAC,求二面角P-AC-D的大小
(3)在(2)的条件下,侧棱SC上是否存在一点E,使得BE∥平面PAC。若存在,求SE:EC的值;若不存在,试说明理由。
解法一:
(Ⅰ)连BD,设AC交BD于O,由题意SO⊥AC。
在正方形ABCD中,AC⊥BD,所以AC⊥平面SBD,
得AC⊥SD。
(Ⅱ)设正方形边长a,则SD=。
又OD=,所以SOD=60°,
连OP,由(Ⅰ)知AC⊥平面SBD,所以AC⊥OP,且AC⊥OD,所以POD是二面角P-AC-D的平面角。由SD⊥平面PAC,知SD⊥OP,所以POD=30°,
即二面角P-AC-D的大小为30°。
(Ⅲ)在棱SC上存在一点E,使BE//平面PAC
由(Ⅱ)可得PD=,故可在SP上取一点N,使PN=PD,过N作PC的平行线与SC的交点即为E。连BN。在△BDN中知BN//PO,又由于NE//PC,故平面BEN//平面PAC,得BE//平面PAC,由于SN:NP=2:1,故SE:EC=2:1。
解法二:
(1)连BD,设AC交于BD于O,由题意知SO⊥平面ABCD,
以O为坐标原点,分别为x轴、y轴、z轴正方向,
建立坐标系O-xyz如图。设底面边长为a,则
(2)由题意知面PAC的一个法向量为
(3)在棱SC上存在一点E使BE//面PAC
由(2)知为面PAC的一个法向量,且设E(x,y,z)
(Ⅰ)连BD,设AC交BD于O,由题意SO⊥AC。
在正方形ABCD中,AC⊥BD,所以AC⊥平面SBD,
得AC⊥SD。
(Ⅱ)设正方形边长a,则SD=。
又OD=,所以SOD=60°,
连OP,由(Ⅰ)知AC⊥平面SBD,所以AC⊥OP,且AC⊥OD,所以POD是二面角P-AC-D的平面角。由SD⊥平面PAC,知SD⊥OP,所以POD=30°,
即二面角P-AC-D的大小为30°。
(Ⅲ)在棱SC上存在一点E,使BE//平面PAC
由(Ⅱ)可得PD=,故可在SP上取一点N,使PN=PD,过N作PC的平行线与SC的交点即为E。连BN。在△BDN中知BN//PO,又由于NE//PC,故平面BEN//平面PAC,得BE//平面PAC,由于SN:NP=2:1,故SE:EC=2:1。
解法二:
(1)连BD,设AC交于BD于O,由题意知SO⊥平面ABCD,
以O为坐标原点,分别为x轴、y轴、z轴正方向,
建立坐标系O-xyz如图。设底面边长为a,则
(2)由题意知面PAC的一个法向量为
(3)在棱SC上存在一点E使BE//面PAC
由(2)知为面PAC的一个法向量,且设E(x,y,z)
略
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