题目内容

已知函数f(x)=ax3+bx2-3x在x=±1处取得极值.
(Ⅰ)求函数f(x)的解析式;
  (Ⅱ)求证:对于区间[-1,1]上任意两个自变量的值x1,x2,都有|f(x1)-f(x2)|≤4;
(Ⅲ)若过点A(1,m)(m≠-2)可作曲线y=f(x)的三条切线,求实数m的取值范围.
(I)f(x)=x3-3x(II)证明略(III)实数a的取值范围是-3<m<-2

(I)f′(x)=3ax2+2bx-3,依题意,f′(1)=f′(-1)=0,
…………………………………………2分
解得a=1,b=0.
∴f(x)=x3-3x.……………………………………………………4分
(II)∵f(x)=x3-3x,∴f′(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1),
当-1<x<1时,f′(x)<0,故f(x)在区间[-1,1]上为减函数,
fmax(x)=f(-1)=2,fmin(x)=f(1)=-2……………………………………6分
∵对于区间[-1,1]上任意两个自变量的值x1,x2
都有|f(x1)-f(x2)|≤|fmax(x) -fmin(x)|
|f(x1)-f(x2)|≤|fmax(x)-fmin(x)|=2-(-2)=4………………………………8分
(III)f′(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1),
∵曲线方程为y=x3-3x,∴点A(1,m)不在曲线上.
设切点为M(x0,y0),则点M的坐标满足
,故切线的斜率为

整理得.
∵过点A(1,m)可作曲线的三条切线,
∴关于x0方程=0有三个实根.……………………10分
设g(0)= ,则g′(x0)=6
由g′(x0)=0,得x0=0或x0­=1.
∴g(x0)在(-∞,0),(1,+∞)上单调递增,在(0,1)上单调递减.
∴函数g(x0)= 的极值点为x0=0,x0=1………………12分
∴关于x0方程=0有三个实根的充要条件是
,解得-3<m<-2.
故所求的实数a的取值范围是-3<m<-2.……………………14分
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