题目内容
【题目】如图1,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠BAD= ,AB=BC=1,AD=2,E是AD的中点,O是AC与BE的交点.将△ABE沿BE折起到图2中△A1BE的位置,得到四棱锥A1﹣BCDE.
(Ⅰ) 证明:CD⊥平面A1OC;
(Ⅱ) 若平面A1BE⊥平面BCDE,求平面A1BC与平面A1CD夹角(锐角)的余弦值.
【答案】证明:(Ⅰ)在图1中,∵AB=BC=1,AD=2,E是AD的中点,∠BAD= , ∴BE⊥AC,
即在图2中,BE⊥OA1 , BE⊥OC,
则BE⊥平面A1OC;
∵CD∥BE,
∴CD⊥平面A1OC.
解:(Ⅱ)若平面A1BE⊥平面BCDE,
由(Ⅰ)知BE⊥OA1 , BE⊥OC,
∴∠A1OC为二面角A1﹣BE﹣C的平面角,
∴∠A1OC= ,
如图,建立空间坐标系,
∵A1B=A1E=BC=ED=1.BC∥ED
∴B( ,0,0),E(﹣
,0,0),A1(0,0,
),C(0,
,0),
=(﹣
,
,0),
=(0,
,﹣
),
=
=(﹣
,0,0),
设平面A1BC的法向量为 =(x,y,z),平面A1CD的法向量为
=(a,b,c),
则 ,得
,令x=1,则y=1,z=1,即
=(1,1,1),
由 ,得
,取b=1,得
=(0,1,1),
则cos< ,
>=
=
=
,
∴平面A1BC与平面A1CD夹角(锐角)的余弦值为 .
【解析】(Ⅰ)根据线面垂直的判定定理即可证明:CD⊥平面A1OC;(Ⅱ)若平面A1BE⊥平面BCDE,建立空间坐标系,利用向量法即可求平面A1BC与平面A1CD夹角的余弦值.
【考点精析】认真审题,首先需要了解直线与平面垂直的判定(一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直;注意点:a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视;b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想).
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